פתור את 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=-14$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

הוסף את ‎\frac{35y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

הוסף ‎\frac{49}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{39}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

פשט.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

החסר את ‎28x+4y=-20 מ- ‎28x-35y=-98 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-35y-4y=-98+20$$

הוסף את ‎-35y ל- ‎-4y.

$$-39y=-98+20$$

הוסף את ‎-98 ל- ‎20.

$$-39y=-78$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-39.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎7x+y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+2=-5$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$7x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=2$$