פתור את 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-5 b=4$$

שכתב את ‎4x^{2}-x-5 כ- ‎\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-5=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-x-5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±9}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎9.

$$x=\frac{10}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±9}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

החסרת -5 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

החסר ‎-5 מ- ‎0.

$$4x^{2}-x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

חלק את ‎-\frac{1}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎\frac{1}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

הוסף ‎\frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$