פתור את 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-12 b=3$$

שכתב את ‎4x^{2}-9x-9 כ- ‎\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -9 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

‎-9 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±15}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎15.

$$x=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±15}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$4x^{2}-9x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

חלק את ‎-\frac{9}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎\frac{81}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

הוסף ‎\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$