פתור את 4x^2-8x=1

$$4 x ^ { 2 } - 8 x = 1$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx 2.118033989$$

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx -0.118033989$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-8x=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-8x-1=1-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-8x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{80}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+8}{8}$$

חלק את ‎8+4\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{5} מ- ‎8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{5}}{8}$$

חלק את ‎8-4\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎4.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}+1$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}$$

פרק x^{2}-2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

פשט.

$$x-1=\frac{\sqrt{5}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$