פתור את 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎\sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{65} מ- ‎7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$4x^{2}-7x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{49}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

הוסף ‎\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$