פתור את 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-4 b=-3$$

שכתב את ‎4x^{2}-7x+3 כ- ‎\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎1.

$$x=\frac{8}{8}$$

חלק את ‎8 ב- ‎8.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎7.

$$x=\frac{6}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{4} ל- ‎\frac{49}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

הוסף ‎\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$