פתור את 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-4 b=-1$$

שכתב את ‎4x^{2}-5x+1 כ- ‎\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±3}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎3.

$$x=\frac{8}{8}$$

חלק את ‎8 ב- ‎8.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±3}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎5.

$$x=\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{4} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

הוסף ‎\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$