פתור את 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-2 b=-2$$

שכתב את ‎4x^{2}-4x+1 כ- ‎\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{1}{2}$$