פתור את 4x^2-35x-71=0

$$4 x ^ { 2 } - 35 x - 71 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{2361} + 35}{8} \approx 10.448765307$$

$$x=\frac{35-\sqrt{2361}}{8}\approx -1.698765307$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-35x-71=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -35 במקום b, וב- -71 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 4\left(-71\right)}}{2\times 4}$$

‎-35 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 4\left(-71\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-16\left(-71\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-71.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1136}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1225 ל- ‎1136.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{2361}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-35 הוא ‎35.

$$x=\frac{35±\sqrt{2361}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{35±\sqrt{2361}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{35±\sqrt{2361}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎35 ל- ‎\sqrt{2361}.

$$x=\frac{\sqrt{2361}+35}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{35±\sqrt{2361}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{2361} מ- ‎35.

$$x=\frac{35-\sqrt{2361}}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{2361}+35}{8} x=\frac{35-\sqrt{2361}}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-35x-71=0$$

הוסף ‎71 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-35x-71-\left(-71\right)=-\left(-71\right)$$

החסרת -71 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-35x=-\left(-71\right)$$

החסר ‎-71 מ- ‎0.

$$4x^{2}-35x=71$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-35x}{4}=\frac{71}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{35}{4}x=\frac{71}{4}$$

חלק את ‎-\frac{35}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{35}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{35}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{35}{4}x+\left(-\frac{35}{8}\right)^{2}=\frac{71}{4}+\left(-\frac{35}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{35}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{35}{4}x+\frac{1225}{64}=\frac{71}{4}+\frac{1225}{64}$$

הוסף את ‎\frac{71}{4} ל- ‎\frac{1225}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{35}{4}x+\frac{1225}{64}=\frac{2361}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{35}{4}x+\frac{1225}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{8}\right)^{2}=\frac{2361}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2361}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{35}{8}=\frac{\sqrt{2361}}{8} x-\frac{35}{8}=-\frac{\sqrt{2361}}{8}$$

הוסף ‎\frac{35}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{2361}+35}{8} x=\frac{35-\sqrt{2361}}{8}$$