פתור את 4x^2-28x+49

$$4 x ^ { 2 } - 28 x + 49$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-7\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+49. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-28 ab=4\times 49=196$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 196.

$$-1,-196 -2,-98 -4,-49 -7,-28 -14,-14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-196=-197 -2-98=-100 -4-49=-53 -7-28=-35 -14-14=-28$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -28.

$$a=-14 b=-14$$

שכתב את ‎4x^{2}-28x+49 כ- ‎\left(4x^{2}-14x\right)+\left(-14x+49\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(-14x+49\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-7\right)-7\left(2x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-7\right)\left(2x-7\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2x-7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(4x^{2}-28x+49)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(4,-28,49)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 4x^{2}.

$$\sqrt{4x^{2}}=2x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(2x-7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-28x+49=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

‎-28 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 49}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 49}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎49.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎-784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±0}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-28 הוא ‎28.

$$x=\frac{28±0}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{28±0}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{7}{2} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-28x+49=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-28x+49=4\times \frac{2x-7}{2}\left(x-\frac{7}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-28x+49=4\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x-7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2x-7}{2} ב- ‎\frac{2x-7}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-28x+49=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x-7\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4x^{2}-28x+49=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x-7\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-28x+49=\left(2x-7\right)\left(2x-7\right)$$

הערך

$$\left(2x-7\right)^{2}$$