פתור את 4x^2-24x-33=0

$$4 x ^ { 2 } - 24 x - 33 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{69}}{2}+3\approx 7.153311931$$

$$x=-\frac{\sqrt{69}}{2}+3\approx -1.153311931$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-24x-33=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- -33 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\left(-33\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-33.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+528}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎528.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1104}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1104.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±4\sqrt{69}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24±4\sqrt{69}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{24±4\sqrt{69}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±4\sqrt{69}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎4\sqrt{69}.

$$x=\frac{4\sqrt{69}+24}{8}$$

חלק את ‎24+4\sqrt{69} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{69}}{2}+3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±4\sqrt{69}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{69} מ- ‎24.

$$x=\frac{24-4\sqrt{69}}{8}$$

חלק את ‎24-4\sqrt{69} ב- ‎8.

$$x=-\frac{\sqrt{69}}{2}+3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{69}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{69}}{2}+3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-24x-33=0$$

הוסף ‎33 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-24x-33-\left(-33\right)=-\left(-33\right)$$

החסרת -33 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-24x=-\left(-33\right)$$

החסר ‎-33 מ- ‎0.

$$4x^{2}-24x=33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-24x}{4}=\frac{33}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{4}\right)x=\frac{33}{4}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎4.

$$x^{2}-6x=\frac{33}{4}$$

חלק את ‎-6, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-3. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -3 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=\frac{33}{4}+\left(-3\right)^{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$x^{2}-6x+9=\frac{33}{4}+9$$

הוסף את ‎\frac{33}{4} ל- ‎9.

$$x^{2}-6x+9=\frac{69}{4}$$

פרק x^{2}-6x+9 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=\frac{69}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{\frac{69}{4}}$$

פשט.

$$x-3=\frac{\sqrt{69}}{2} x-3=-\frac{\sqrt{69}}{2}$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{69}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{69}}{2}+3$$