פתור את 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4.202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0.297437581$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -18 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

‎-18 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎324 ל- ‎-80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-18 הוא ‎18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎18 ל- ‎2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

חלק את ‎18+2\sqrt{61} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{61} מ- ‎18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

חלק את ‎18-2\sqrt{61} ב- ‎8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

חלק את ‎-\frac{9}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎\frac{81}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

הוסף ‎\frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$