פתור את 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4.054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0.554886114$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-14x=9$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

חלק את ‎14+2\sqrt{85} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{85} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

חלק את ‎14-2\sqrt{85} ב- ‎8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

הוסף ‎\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$