פתור את 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1.75+0.433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1.75-0.433012702i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- 13 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

חלק את ‎14+2i\sqrt{3} ב- ‎8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{3} מ- ‎14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

חלק את ‎14-2i\sqrt{3} ב- ‎8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

החסר ‎13 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

החסרת 13 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{4} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

הוסף ‎\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$