פתור את 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-27. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-18 b=6$$

שכתב את ‎4x^{2}-12x-27 כ- ‎\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-9=0 ו- 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- -27 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±24}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎24.

$$x=\frac{36}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{36}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±24}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎24 מ- ‎12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

החסרת -27 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

החסר ‎-27 מ- ‎0.

$$4x^{2}-12x=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

הוסף את ‎\frac{27}{4} ל- ‎\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

פרק x^{2}-3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$