פתור את 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

החסר ‎16 מ- ‎30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -11 במקום b, וב- 14 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{103} מ- ‎11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

החסרת 30 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

החסר ‎30 מ- ‎16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

חלק את ‎-\frac{11}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2} ל- ‎\frac{121}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

הוסף ‎\frac{11}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$