פתור את 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎8 ב- b ואת ‎-45 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-8±28}{8} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{5}{2} ו- ‎x+\frac{9}{2} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{5}{2} הוא חיובי ו- ‎x+\frac{9}{2} הוא שלילי.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{9}{2} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{5}{2} הוא שלילי.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$