פתור את 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

חלק את ‎-6+2\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{5} מ- ‎-6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

חלק את ‎-6-2\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎\frac{3}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{4} ל- ‎\frac{9}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$