פתור את 4x^2+5x+7=81

$$4 x ^ { 2 } + 5 x + 7 = 81$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{1209} - 5}{8} \approx 3.721334663$$

$$x=\frac{-\sqrt{1209}-5}{8}\approx -4.971334663$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+5x+7=81$$

החסר ‎81 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+5x+7-81=81-81$$

החסרת 81 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+5x+7-81=0$$

החסר ‎81 מ- ‎7.

$$4x^{2}+5x-74=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -74 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-74\right)}}{2\times 4}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-74\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-74\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-74.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1184}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎1184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1209}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1209}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{1209}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎\sqrt{1209}.

$$x=\frac{\sqrt{1209}-5}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{1209}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{1209} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{1209}-5}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{1209}-5}{8} x=\frac{-\sqrt{1209}-5}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+5x+7=81$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+5x+7-7=81-7$$

החסרת 7 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+5x=81-7$$

החסר ‎7 מ- ‎81.

$$4x^{2}+5x=74$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=\frac{74}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{74}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{74}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{37}{2}$$

חלק את ‎\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{37}{2}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{37}{2}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎\frac{37}{2} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1209}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1209}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1209}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{1209}}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{1209}}{8}$$

החסר ‎\frac{5}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{1209}-5}{8} x=\frac{-\sqrt{1209}-5}{8}$$