פתור את 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 4.

$$1,4 2,2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+4=5 2+2=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=2 b=2$$

שכתב את ‎4x^{2}+4x+1 כ- ‎\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

פרק את ‎x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=-\frac{1}{2}$$