פתור את 4x^2+30x+14

$$4 x ^ { 2 } + 30 x + 14$$

פרק לגורמים

$$2\left(x+7\right)\left(2x+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(2x^{2}+15x+7\right)$$

שקול את 2x^{2}+15x+7. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=15 ab=2\times 7=14$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 14.

$$1,14 2,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+14=15 2+7=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 15.

$$a=1 b=14$$

שכתב את ‎2x^{2}+15x+7 כ- ‎\left(2x^{2}+x\right)+\left(14x+7\right).

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(14x+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+30x+14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

‎30 בריבוע.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-16\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎14.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-224}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-30±\sqrt{676}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-30±26}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-30±26}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±26}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-30 ל- ‎26.

$$x=-\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±26}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎-30.

$$x=-\frac{56}{8}$$

חלק את ‎-56 ב- ‎8.

$$x=-7$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-7 במקום x_{2}.

$$4x^{2}+30x+14=4\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-7\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}+30x+14=4\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+7\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}+30x+14=4\times \frac{2x+1}{2}\left(x+7\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎4 ו- ‎2.

$$4x^{2}+30x+14=2\left(2x+1\right)\left(x+7\right)$$

הערך

$$2\left(x+7\right)\left(2x+1\right)$$