פתור את 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$1,10 2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+10=11 2+5=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=2 b=5$$

שכתב את ‎x^{2}+7x+10 כ- ‎\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+2=0 ו- x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 28 במקום b, וב- 40 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

‎28 בריבוע.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎-640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-28±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-28 ל- ‎12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎8.

$$x=-2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-28±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎-28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎8.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-2 x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

החסרת 40 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

חלק את ‎28 ב- ‎4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎4.

$$x^{2}+7x=-10$$

חלק את ‎7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}+7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-2 x=-5$$