פתור את 4x^2+20x+25

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25$$

פרק לגורמים

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=20 ab=4\times 25=100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 20.

$$a=10 b=10$$

שכתב את ‎4x^{2}+20x+25 כ- ‎\left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right).

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x+5\right)+5\left(2x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(4x^{2}+20x+25)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(4,20,25)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 4x^{2}.

$$\sqrt{4x^{2}}=2x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

‎20 בריבוע.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎25.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-20±0}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-20±0}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$4x^{2}+20x+25=4\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}+20x+25=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}+20x+25=4\times \frac{2x+5}{2}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}+20x+25=4\times \frac{2x+5}{2}\times \frac{2x+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2x+5}{2} ב- ‎\frac{2x+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}+20x+25=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4x^{2}+20x+25=4\times \frac{\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}+20x+25=\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)$$

הערך

$$\left(2x+5\right)^{2}$$