פתור את 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1.382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4.882491022$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 14 במקום b, וב- -27 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

‎14 בריבוע.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

חלק את ‎-14+2\sqrt{157} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{157} מ- ‎-14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

חלק את ‎-14-2\sqrt{157} ב- ‎8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

החסרת -27 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

החסר ‎-27 מ- ‎0.

$$4x^{2}+14x=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

חלק את ‎\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎\frac{27}{4} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

החסר ‎\frac{7}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$