פתור את 4u^2-5u=6

$$4 u ^ { 2 } - 5 u = 6$$

פתור עבור u

$$u=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$u=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎6 משני האגפים.

$$4u^{2}-5u-6=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4u^{2}+au+bu-6. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=4\left(-6\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-8 b=3$$

שכתב את ‎4u^{2}-5u-6 כ- ‎\left(4u^{2}-8u\right)+\left(3u-6\right).

$$\left(4u^{2}-8u\right)+\left(3u-6\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4u בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4u\left(u-2\right)+3\left(u-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף u-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(u-2\right)\left(4u+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את u-2=0 ו- 4u+3=0.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4u^{2}-5u=6$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$4u^{2}-5u-6=6-6$$

החסרת 6 מעצמו נותנת 0.

$$4u^{2}-5u-6=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -6 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

‎-5 בריבוע.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-6.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎96.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$u=\frac{5±11}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$u=\frac{5±11}{8}$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{5±11}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎11.

$$u=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$u=2$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{5±11}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎5.

$$u=-\frac{6}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$u=-\frac{3}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4u^{2}-5u=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4u^{2}-5u}{4}=\frac{6}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u=\frac{3}{2}$$

חלק את ‎-\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64}=\frac{3}{2}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64}=\frac{121}{64}$$

פרק u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(u-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

פשט.

$$u-\frac{5}{8}=\frac{11}{8} u-\frac{5}{8}=-\frac{11}{8}$$

הוסף ‎\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$