פתור את 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

פתור עבור t

$$t=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$t=11$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4t^{2}+at+bt-11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -43.

$$a=-44 b=1$$

שכתב את ‎4t^{2}-43t-11 כ- ‎\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right).

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4t ב- 4t^{2}-44t.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

הוצא את האיבר המשותף t-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את t-11=0 ו- 4t+1=0.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -43 במקום b, וב- -11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

‎-43 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1849 ל- ‎176.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2025.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-43 הוא ‎43.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{43±45}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎43 ל- ‎45.

$$t=\frac{88}{8}$$

חלק את ‎88 ב- ‎8.

$$t=11$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{43±45}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎45 מ- ‎43.

$$t=-\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$t=-\frac{1}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

החסרת -11 מעצמו נותנת 0.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

החסר ‎-11 מ- ‎0.

$$4t^{2}-43t=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

חלק את ‎-\frac{43}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{43}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{43}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{43}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

הוסף את ‎\frac{11}{4} ל- ‎\frac{1849}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

פרק t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

פשט.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

הוסף ‎\frac{43}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$