פתור את 4t^2-13t-12

$$4 t ^ { 2 } - 13 t - 12$$

פרק לגורמים

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4t^{2}+at+bt-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-13 ab=4\left(-12\right)=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$a=-16 b=3$$

שכתב את ‎4t^{2}-13t-12 כ- ‎\left(4t^{2}-16t\right)+\left(3t-12\right).

$$\left(4t^{2}-16t\right)+\left(3t-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4t בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$4t\left(t-4\right)+3\left(t-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף t-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4t^{2}-13t-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

‎-13 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-12.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+192}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎192.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$t=\frac{-\left(-13\right)±19}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-13 הוא ‎13.

$$t=\frac{13±19}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$t=\frac{13±19}{8}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{13±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎13 ל- ‎19.

$$t=\frac{32}{8}$$

חלק את ‎32 ב- ‎8.

$$t=4$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{13±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎13.

$$t=-\frac{6}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$t=-\frac{3}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎4 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{4} במקום x_{2}.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\left(t-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\left(t+\frac{3}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎t על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4t^{2}-13t-12=4\left(t-4\right)\times \frac{4t+3}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4t^{2}-13t-12=\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$

הערך

$$\left(t-4\right)\left(4t+3\right)$$