פתור את 4q^2-34q+70

$$4 q ^ { 2 } - 34 q + 70$$

פרק לגורמים

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(2q^{2}-17q+35\right)$$

שקול את 2q^{2}-17q+35. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2q^{2}+aq+bq+35. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-17 ab=2\times 35=70$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 70.

$$-1,-70 -2,-35 -5,-14 -7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-70=-71 -2-35=-37 -5-14=-19 -7-10=-17$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$a=-10 b=-7$$

שכתב את ‎2q^{2}-17q+35 כ- ‎\left(2q^{2}-10q\right)+\left(-7q+35\right).

$$\left(2q^{2}-10q\right)+\left(-7q+35\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2q בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$2q\left(q-5\right)-7\left(q-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף q-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4q^{2}-34q+70=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

‎-34 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 4\times 70}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-16\times 70}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎70.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-1120}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1156 ל- ‎-1120.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$q=\frac{-\left(-34\right)±6}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-34 הוא ‎34.

$$q=\frac{34±6}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$q=\frac{34±6}{8}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{34±6}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎34 ל- ‎6.

$$q=\frac{40}{8}$$

חלק את ‎40 ב- ‎8.

$$q=5$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{34±6}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎34.

$$q=\frac{28}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{28}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$q=\frac{7}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎\frac{7}{2} במקום x_{2}.

$$4q^{2}-34q+70=4\left(q-5\right)\left(q-\frac{7}{2}\right)$$

החסר את q מ- \frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4q^{2}-34q+70=4\left(q-5\right)\times \frac{2q-7}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎4 ו- ‎2.

$$4q^{2}-34q+70=2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$

הערך

$$2\left(q-5\right)\left(2q-7\right)$$