פתור את 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

פתור עבור p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4p^{2}+ap+bp-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-8 b=5$$

שכתב את ‎4p^{2}-3p-10 כ- ‎\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4p בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף p-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את p-2=0 ו- 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- -10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

‎-3 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{3±13}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎13.

$$p=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$p=2$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{3±13}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

החסרת -10 מעצמו נותנת 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

החסר ‎-10 מ- ‎0.

$$4p^{2}-3p=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

חלק את ‎-\frac{3}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{9}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

פרק p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

פשט.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

הוסף ‎\frac{3}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$