פתור את 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

פתור עבור n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎11 משני האגפים.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4n^{2}+an+bn-11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-11 b=4$$

שכתב את ‎4n^{2}-7n-11 כ- ‎\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n ב- 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

הוצא את האיבר המשותף 4n-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4n-11=0 ו- n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4n^{2}-7n=11$$

החסר ‎11 משני אגפי המשוואה.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

החסרת 11 מעצמו נותנת 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

‎-7 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{7±15}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎15.

$$n=\frac{22}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{22}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{7±15}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$n=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

חלק את ‎-\frac{7}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

הוסף את ‎\frac{11}{4} ל- ‎\frac{49}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

פרק n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

פשט.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

הוסף ‎\frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$