פתור את 4n^2+16n-180

$$4 n ^ { 2 } + 16 n - 180$$

פרק לגורמים

$$4\left(n-5\right)\left(n+9\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(n^{2}+4n-45\right)$$

שקול את n^{2}+4n-45. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- n^{2}+an+bn-45. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=1\left(-45\right)=-45$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=-5 b=9$$

שכתב את ‎n^{2}+4n-45 כ- ‎\left(n^{2}-5n\right)+\left(9n-45\right).

$$\left(n^{2}-5n\right)+\left(9n-45\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$n\left(n-5\right)+9\left(n-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-5\right)\left(n+9\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(n-5\right)\left(n+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4n^{2}+16n-180=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\left(-180\right)}}{2\times 4}$$

‎16 בריבוע.

$$n=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\left(-180\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$n=\frac{-16±\sqrt{256-16\left(-180\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-180.

$$n=\frac{-16±\sqrt{256+2880}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎2880.

$$n=\frac{-16±\sqrt{3136}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3136.

$$n=\frac{-16±56}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$n=\frac{-16±56}{8}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-16±56}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎56.

$$n=\frac{40}{8}$$

חלק את ‎40 ב- ‎8.

$$n=5$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-16±56}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎56 מ- ‎-16.

$$n=-\frac{72}{8}$$

חלק את ‎-72 ב- ‎8.

$$n=-9$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎-9 במקום x_{2}.

$$4n^{2}+16n-180=4\left(n-5\right)\left(n-\left(-9\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4n^{2}+16n-180=4\left(n-5\right)\left(n+9\right)$$

הערך

$$4\left(n-5\right)\left(n+9\right)$$