פתור את 4k^2-4k-3

$$4 k ^ { 2 } - 4 k - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4k^{2}+ak+bk-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-6 b=2$$

שכתב את ‎4k^{2}-4k-3 כ- ‎\left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right).

$$\left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2k ב- 4k^{2}-6k.

$$2k\left(2k-3\right)+2k-3$$

הוצא את האיבר המשותף 2k-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎48.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$k=\frac{4±8}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{4±8}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎8.

$$k=\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$k=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{4±8}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎4.

$$k=-\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$k=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

החסר את k מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎k על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\times \frac{2k+1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2k-3}{2} ב- ‎\frac{2k+1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4k^{2}-4k-3=\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

הערך

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$