פתור את 4k^2+7k+3=0

$$4 k ^ { 2 } + 7 k + 3 = 0$$

פתור עבור k

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$k=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4k^{2}+ak+bk+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=4\times 3=12$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=3 b=4$$

שכתב את ‎4k^{2}+7k+3 כ- ‎\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right).

$$\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף k ב- 4k^{2}+3k.

$$k\left(4k+3\right)+4k+3$$

הוצא את האיבר המשותף 4k+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4k+3\right)\left(k+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4k+3=0 ו- k+1=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

‎7 בריבוע.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎3.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-48.

$$k=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$k=\frac{-7±1}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$k=\frac{-7±1}{8}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-7±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎1.

$$k=-\frac{6}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$k=-\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-7±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-7.

$$k=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$k=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$4k^{2}+7k+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$4k^{2}+7k=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4k^{2}+7k}{4}=-\frac{3}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k=-\frac{3}{4}$$

חלק את ‎\frac{7}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{4} ל- ‎\frac{49}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

פרק k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

פשט.

$$k+\frac{7}{8}=\frac{1}{8} k+\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

החסר ‎\frac{7}{8} משני אגפי המשוואה.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$