פתור את 4d^2+36d+81

$$4 d ^ { 2 } + 36 d + 81$$

פרק לגורמים

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4d^{2}+ad+bd+81. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=36 ab=4\times 81=324$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 36.

$$a=18 b=18$$

שכתב את ‎4d^{2}+36d+81 כ- ‎\left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right).

$$\left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2d בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$2d\left(2d+9\right)+9\left(2d+9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2d+9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(4d^{2}+36d+81)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(4,36,81)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 4d^{2}.

$$\sqrt{4d^{2}}=2d$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 81.

$$\sqrt{81}=9$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4d^{2}+36d+81=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$d=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

‎36 בריבוע.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-16\times 81}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎81.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1296 ל- ‎-1296.

$$d=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$d=\frac{-36±0}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$d=\frac{-36±0}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{9}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{9}{2} במקום x_{2}.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d+\frac{9}{2}\right)\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎d על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎d על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\times \frac{2d+9}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2d+9}{2} ב- ‎\frac{2d+9}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4d^{2}+36d+81=\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

הערך

$$\left(2d+9\right)^{2}$$