פתור את 4a^2-4a+1

$$4 a ^ { 2 } - 4 a + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4a^{2}+pa+qa+1. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-4 pq=4\times 1=4$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$p=-2 q=-2$$

שכתב את ‎4a^{2}-4a+1 כ- ‎\left(4a^{2}-2a\right)+\left(-2a+1\right).

$$\left(4a^{2}-2a\right)+\left(-2a+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2a בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$2a\left(2a-1\right)-\left(2a-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2a-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(4a^{2}-4a+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(4,-4,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 4a^{2}.

$$\sqrt{4a^{2}}=2a$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(2a-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}-4a+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-16.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±0}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$a=\frac{4±0}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$a=\frac{4±0}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$4a^{2}-4a+1=4\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{2a-1}{2}\left(a-\frac{1}{2}\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{2a-1}{2}\times \frac{2a-1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2a-1}{2} ב- ‎\frac{2a-1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4a^{2}-4a+1=4\times \frac{\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4a^{2}-4a+1=\left(2a-1\right)\left(2a-1\right)$$

הערך

$$\left(2a-1\right)^{2}$$