פתור את 4a^2+28a+48

$$4 a ^ { 2 } + 28 a + 48$$

פרק לגורמים

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(a^{2}+7a+12\right)$$

שקול את a^{2}+7a+12. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- a^{2}+pa+qa+12. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=7 pq=1\times 12=12$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא חיובי, p ו- q שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$p=3 q=4$$

שכתב את ‎a^{2}+7a+12 כ- ‎\left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right).

$$\left(a^{2}+3a\right)+\left(4a+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף a בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$a\left(a+3\right)+4\left(a+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+28a+48=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

‎28 בריבוע.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 48}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 48}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎48.

$$a=\frac{-28±\sqrt{784-768}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎-768.

$$a=\frac{-28±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$a=\frac{-28±4}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$a=\frac{-28±4}{8}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-28±4}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-28 ל- ‎4.

$$a=-\frac{24}{8}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎8.

$$a=-3$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-28±4}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎-28.

$$a=-\frac{32}{8}$$

חלק את ‎-32 ב- ‎8.

$$a=-4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-3 במקום x_{1} וב- ‎-4 במקום x_{2}.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a-\left(-3\right)\right)\left(a-\left(-4\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4a^{2}+28a+48=4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$

הערך

$$4\left(a+3\right)\left(a+4\right)$$