פתור את 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1.866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0.133974596$$

$$x=-1$$

שלבי פתרון

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -2,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4x^{2}+8x ב- x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4x^{3}+8x^{2} ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5x ב- x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

הוסף ‎5x^{2} משני הצדדים.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

כנס את ‎16x^{2} ו- ‎5x^{2} כדי לקבל ‎21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

הוסף ‎10x משני הצדדים.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎4x^{3}+12x^{2}+9x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 4. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎4x^{3}+12x^{2}+9x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎4x^{2}+8x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎8 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

פתור את המשוואה ‎4x^{2}+8x+1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$