פתור את 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

החסר את 169 מ- 4 כדי לקבל -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-165. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=-22 b=30$$

שכתב את ‎4x^{2}+8x-165 כ- ‎\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 15 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-11=0 ו- 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

החסר את 169 מ- 4 כדי לקבל -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- -165 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±52}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎52.

$$x=\frac{44}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{44}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±52}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎52 מ- ‎-8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-60}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

החסר את 169 מ- 4 כדי לקבל -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

הוסף ‎165 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$4x^{2}+8x=165$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

חלק את ‎8 ב- ‎4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

חלק את ‎2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

‎1 בריבוע.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

הוסף את ‎\frac{165}{4} ל- ‎1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

פרק x^{2}+2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

פשט.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$