פתור את 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

פתור עבור y

$$y=-1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y^{2}-y-2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- y^{2}+ay+by-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-2 b=1$$

שכתב את ‎y^{2}-y-2 כ- ‎\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y ב- y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

הוצא את האיבר המשותף y-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-2=0 ו- y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -8 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{4±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎12.

$$y=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$y=2$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{4±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$y=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=2 y=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

החסרת -8 מעצמו נותנת 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

החסר ‎-8 מ- ‎0.

$$4y^{2}-4y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

חלק את ‎8 ב- ‎4.

$$y^{2}-y=2$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק y^{2}-y+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=2 y=-1$$