פתור את 4y^2-21y+5

$$4 { y }^{ 2 } -21y+5$$

פרק לגורמים

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4y^{2}+ay+by+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-21 ab=4\times 5=20$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -21.

$$a=-20 b=-1$$

שכתב את ‎4y^{2}-21y+5 כ- ‎\left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right).

$$\left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4y בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$4y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-21y+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

‎-21 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\times 5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎5.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-80}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎-80.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±19}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-21 הוא ‎21.

$$y=\frac{21±19}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{21±19}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{21±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎21 ל- ‎19.

$$y=\frac{40}{8}$$

חלק את ‎40 ב- ‎8.

$$y=5$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{21±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎21.

$$y=\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{4} במקום x_{2}.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\left(y-\frac{1}{4}\right)$$

החסר את y מ- \frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\times \frac{4y-1}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4y^{2}-21y+5=\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

הערך

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$