פתור את 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

פרק לגורמים

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -8.

$$1,-8 2,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-8 b=1$$

שכתב את ‎4x^{2}-7x-2 כ- ‎\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x ב- 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±9}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎9.

$$x=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±9}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{4} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

הערך

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$