פתור את 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0.625+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0.625-1.452368755i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3i\sqrt{15} מ- ‎5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

חלק את ‎-\frac{5}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{25}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

הוסף ‎\frac{5}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$