פתור את 4x^2-53x+60=0

$$4 { x }^{ 2 } -53x+60 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+60. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-53 ab=4\times 60=240$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 240.

$$-1,-240 -2,-120 -3,-80 -4,-60 -5,-48 -6,-40 -8,-30 -10,-24 -12,-20 -15,-16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-240=-241 -2-120=-122 -3-80=-83 -4-60=-64 -5-48=-53 -6-40=-46 -8-30=-38 -10-24=-34 -12-20=-32 -15-16=-31$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -53.

$$a=-48 b=-5$$

שכתב את ‎4x^{2}-53x+60 כ- ‎\left(4x^{2}-48x\right)+\left(-5x+60\right).

$$\left(4x^{2}-48x\right)+\left(-5x+60\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-12\right)-5\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(4x-5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- 4x-5=0.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-53x+60=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -53 במקום b, וב- 60 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{\left(-53\right)^{2}-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

‎-53 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-16\times 60}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎60.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-960}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎2809 ל- ‎-960.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{1849}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1849.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±43}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-53 הוא ‎53.

$$x=\frac{53±43}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{53±43}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±43}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎53 ל- ‎43.

$$x=\frac{96}{8}$$

חלק את ‎96 ב- ‎8.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±43}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎43 מ- ‎53.

$$x=\frac{10}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-53x+60=0$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-53x+60-60=-60$$

החסרת 60 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-53x=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-53x}{4}=-\frac{60}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x=-\frac{60}{4}$$

חלק את ‎-60 ב- ‎4.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x=-15$$

חלק את ‎-\frac{53}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{53}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{53}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=-15+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{53}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64}=-15+\frac{2809}{64}$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎\frac{2809}{64}.

$$x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64}=\frac{1849}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{53}{4}x+\frac{2809}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1849}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1849}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{53}{8}=\frac{43}{8} x-\frac{53}{8}=-\frac{43}{8}$$

הוסף ‎\frac{53}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=\frac{5}{4}$$