פתור את 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2.561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1.561552813$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

חלק את ‎4+4\sqrt{17} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{17} מ- ‎4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

חלק את ‎4-4\sqrt{17} ב- ‎8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

החסרת -16 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

החסר ‎-16 מ- ‎0.

$$4x^{2}-4x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

חלק את ‎16 ב- ‎4.

$$x^{2}-x=4$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$