פתור את 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-10 b=6$$

שכתב את ‎4x^{2}-4x-15 כ- ‎\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-5=0 ו- 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎16.

$$x=\frac{20}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$4x^{2}-4x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{15}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$