פתור את 4x^2-2x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-1=0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0.809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0.309016994$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

חלק את ‎2+2\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{5} מ- ‎2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

חלק את ‎2-2\sqrt{5} ב- ‎8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$4x^{2}-2x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$