פתור את 4x^2-12x-7

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-14 b=2$$

שכתב את ‎4x^{2}-12x-7 כ- ‎\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎16.

$$x=\frac{28}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{28}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}-12x-7=4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x+1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2x-7}{2} ב- ‎\frac{2x+1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4x^{2}-12x-7=4\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-12x-7=\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

הערך

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$