פתור את 4x^2-11x-3

$$4 { x }^{ 2 } -11x-3$$

פרק לגורמים

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-12 b=1$$

שכתב את ‎4x^{2}-11x-3 כ- ‎\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x ב- 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±13}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎13.

$$x=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±13}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{4} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

הערך

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$