פתור את 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎120 משני האגפים.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x^{2}+x-30=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-5 b=6$$

שכתב את ‎x^{2}+x-30 כ- ‎\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+4x=120$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

החסרת 120 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- -120 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±44}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎44.

$$x=\frac{40}{8}$$

חלק את ‎40 ב- ‎8.

$$x=5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±44}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎44 מ- ‎-4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎8.

$$x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=5 x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

חלק את ‎120 ב- ‎4.

$$x^{2}+x=30$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎30 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

פרק x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=-6$$