פתור את 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+4x=1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

חלק את ‎-4+4\sqrt{2} ב- ‎8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{2} מ- ‎-4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

חלק את ‎-4-4\sqrt{2} ב- ‎8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

פרק x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$